Differenzengleichung

Vorab: Rekursion bedeutet in etwa, dass Signale "rückgekoppelt" werden, d.h. vom Ausgang zum Eingang zurückgeführt werden. Bei nichtrekursiven Systemen gibt es solche Wege nicht, die Signale laufen nur "vorwärts" vom Eingang zum Ausgang.

LTI-Systeme lassen sich stets durch Differenzengleichungen mit festen Koeffizienten ausdrücken. Dies ist für nichtrekursive Systeme mit den Beispielen des Abschnittes über Linearität auch leicht nachvollziehbar. Gleichzeitig gilt die selbe Linearitätsbeziehung auch für den Ausgang des Systems. Betrachtet man nun ein rekursives System, so kommen als neue Terme nur vergangene Systemantworten mit linearen Faktoren gewichtet (multipliziert) hinzu. Damit sind auch alle durch

\sum_{i = 0}^N a_iy(k-i) = \sum^M_{j=0} b_jx(k-j)

aufgebauten rekursiven Systeme linear.

Um nun nur den Ausgang des Systems zu betrachten, wird vereinbart, dass

a_0 = 1

ist. Für den Ausgang eines kausalen Systems gilt dann

y(k) = -\sum^N_{i=1}a_1y(k-i)+\sum^M_{j=0}b_j\space.x(k-j)

Um zu wissen, welche Folge

y(k)

am Ausgang herauskommt, ist es notwendig den aktuellen und die vergangenen Eingangssignale

x(k)

 zu kennen (die Summe beginnt bei j=0) sowie die vergangenen Ausgangssignale (die Summe beginnt bei i=1).

y(k-i)=0 \space \space\space \forall \space \space \space i>0

.