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Zeitinvarianz
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Zeitinvarianz
Von Zeitinvarianz spricht man, wenn das System seine Eigenschaften nicht zeitlich ändert. Eine bestimmte Verzögerung k_0 des Eingangssignal führt also im Ausgang zu einem um die selbe Zeit k_0 verzögerten Ausgangssignal. Mathematisch ausgedrückt durch
mit k_0 als Angabe der diskreten Verzögerungszeit.
Beispiel: Gegeben sind die beiden Systeme y(k) = 2x(k) und y(k) = x(2k) . Sind die Systeme zeitinvariant oder nicht?
Der Test erfolgt zum einen über die zeitliche Verschiebung des Eingangssignals x(k) . Es ergibt sich ein neues Eingangssignal x(k-k_0) . Für dieses neue Eingangssignal ist der Ausgang y(k) = 2x(k-k_0) . Zum anderen muss das Ausgangssignal des Originaleingangssignals verschoben werden. Es ergibt sich zunächst für den Ausgang y(k) = 2x(k) . Dieses Signal wird jetzt um k_0 verschoben (Variablensubstitution k^\prime = k-k_0 ). Der Ausgang ist also y(k^\prime) = y(k - k_0) = 2x(k - k_0) . Das System ist zeit-invariant.
Beim zweiten System ergibt sich am Ausgang durch die Verschiebung des Eingangssignals y(k) = x(2k - k_0) . Betrachtet man aber den um k_0 verschobenen Ausgang, ergibt sich durch die Variablensubstitution y(k-k_0) = x(2k - 2k_0) . Dieses System ist also zeitvariant.
