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Linearität

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Lineare Systeme zeichnen sich dadurch aus, dass das so genannte Superpositionsprinzip (Überlagerungsprinzip) gilt. Dies bedeutet, dass die additive Überlagerung der gewichteten Eingangssignale und die Verknüpfung mit dem System genau zu dem gleichen Ergebnis führt, wie die gewichtete additive Überlagerung der einzelnen Signale am Ausgang des linearen Systems. Mathematisch ausgedrückt durch

f \{a_1x_1(k) +a_2x_2(k) +...+ a_Nx_N(k)\} = a_1f\{x_1(k)\}+a_2f\{x_2(k)\}+...+a_Nf\{x_N(k)\}
 ,

wobei
f\{.\}
 die Systemfunktion darstellt,
a_i
 die linearen Gewichte und
x_i(k)
 die Eingangssignale. Abbildung 3.6 verdeutlicht den Zusammenhang. Bei LTI-Systemen kann das System
H
 vor den Summationspunkt und vor den linearen Gewichten
a_1
 und
a_2
 verschoben werden.


Fig. 3.6 Linearität bildlich erklärt
Beispiel: Als Beispiel betrachten wir das System

y(k) = 2x(k) + 3x(k-1)


Der Ausgang der einzelnen Eingangssignale
x_1(k)
 und
x_2(k)
 gewichtet ergeben

y_1(k) = (2x_1(k) + 3x_1(k-1))

y_2(k) = (2x_2(k) + 3x_2(k-1))


Der Ausgang ergibt sich zu

y(k) = a_1y_1(k) +a_2y_2(k).


und somit

y(k) = 2a_1x_1(k)+3a_1x_1(k-1) + 2a_2x_2(k)+3a_2x_2(k-1).
             (3.1)

Ein gemischtes und gewichtetes Eingangssignal ist gegeben durch.

x_{\text{mix}} = a_1x_1(k)+a_2x_2(k)


und das Ausgangssignal des System durch

y(k) = 2x_{\text{mix}}(k)+3x_{\text{mix}}(k-1)

         
= 2(a_1x_1(k) + a_2x_2(k))+3(a_1x_1(k-1)+a_2x_a(k-1))

         
= 2a_1x_1(k)+2a_2x_2(k)+3a_1x_1(k-1)+3a_2x_2(k-1)


Dies ist im Vergleich zur Gleichung (3.1) identisch. Somit ist das System linear.

Als zweites System testen wir
y(k) = x^2(k)
 . Es ergeben sich folgende Ausgangssignale:

y_1(k) = x^2_1(k)

y_2(k) = x^2_2(k)

\to y(k)= a_1y_1(k)+a_2y_2(k)

               
= a_1x^2_1(k)+a_2x_2^2(k)


bzw.
y(k) = x^2_\text{mix}(k)

         
= (a_1x_1(k) +a_2x_2(k))^2

         
= a^2_1x_1^2(k)+2a_1a_2x_1(k)x_2(k)+a_2^2x_2^2(k)


Die beiden Ausgangssignale sind nicht identisch. Dieses System ist also nichtlinear.
LTI SystemeZeitinvarianz→