Rechteckschwingung

Rechteck: Für das Rechtecksignal funktionieren ebenfalls die beiden bereits für das -> Dreiecksignal eingeführten Methoden. Wir können eine abschnittsweise Definition verwenden:

x_{1R}(t) = \begin{cases} -1 & \text{if } -L \leq t < 0, \\ 1 & \text{if } 0 \leq t < L. \end{cases}

           (2.6)

Die Periodizität wird wieder durch

x(t + n 2 L) = x_{1R}(t)

           (2.7)

für

n \in \mathbb{Z}

erreicht.

Die Fourier-Reihe für ein periodisches Rechtecksignal ist

y(t) = \frac{4}{\pi} (\sin(\omega t) + \frac{1}{3}\sin(3\omega t) + \frac{1}{5}\sin(5\omega t) + ...)

           (2.8)

Auch hier treten nur ungeradzahlige Harmonische auf, die aber im Vergleich zu der Dreieckschwingung nur mit dem Vielfachen und nicht mit dem Quadrat abnehmen. Dies bedeutet, dass die -> Aliasing-Problematik noch ausgeprägter ist.

Eine dritte Methode, die eine besonders einfache Implementierung ermöglicht, ergibt sich aus der vereinfachten signum-Funktion ohne Null, die jeweils das Vorzeichen angibt.

\text{sign}(x) = \begin{cases} -1 & \text{if } x < 0, \\ 1 & \text{if } x \geq 0. \end{cases}

     

Eine Rechteckfunktion kann nun sehr einfach durch das Vorzeichen der Sinusfunktion angegeben werden

x(t) = \text{sign}(\sin(\omega t))

,      (2.9)

bzw. in diskreter Form durch

x(t) = \text{sign}(\sin(2 \pi k \frac{f_0}{f_s}))

.     (2.10)