Dreieckschwingung

Dreieck: Ein periodisches Dreieckssignal zu beschreiben, kann auf zwei Arten erfolgen. Eine sehr einfache Beschreibung erfolgt über eine abschnittsweise Definition. Eine Periode der Dreiecksschwingung ist gegeben durch

x_{1D}(t) = \begin{cases} 1 - |\frac{2t}{L}| & -L \leq t \leq L \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}

           (2.3)

Die Periodizität wird abschließend durch

x(t + 2nL) = x(t)

für

n \in \mathbb{Z}

erzeugt.

Eine weitere Möglichkeit, periodische Signale auszudrücken, ergibt sich aus dem Fourier-Theorem. Es besagt, dass sich alle periodischen Signale auf eine Summe von Sinussignalen zurückführen lassen. Die zerlegten komplexen Signale lassen sich dann durch eine so genannte Fourier-Reihe beschreiben. Für das Dreieckssignal ist eine mögliche Fourier-Reihe durch

y(t) = \frac{8}{\pi^2} (\sin(\omega t) - \frac{1}{3^2} \sin(3\omega t) + \frac{1}{5^2} \sin (5\omega t) - ...)

           (2.4)

oder

y(t) = \frac{8}{\pi^2} (\cos(\omega t) - \frac{1}{3^2} \cos(3\omega t) + \frac{1}{5^2} \cos (5\omega t) - ...)

           (2.5)

gegeben. Hierbei handelt es sich also um eine unendliche Reihe von Sinustönen, die nur ungeradzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind, wobei die Amplitude mit dem Quadrat des Vielfachen abnimmt.

Für eine digitale Realisierung stellt sich hier nun ein Problem ein. Würden wir die abschnittsweise Definition aus Gleichung (2.3) direkt in einem digitalen System implementieren, so würde dieses Signal nach Gleichung (2.4) auch Frequenzen oberhalb der halben Abtastfrequenz aufweisen. Ein so direkt erzeugtes Dreieckssignal besitzt deshalb immer Aliasing-Anteile, die aber in einigen Fällen durch die sehr geringe Amplitude vernachlässigbar sind.