Dirac und Delta-Impuls

Der Delta-Impuls ist die wichtigste digitale Impulsfolge, sie wird auch als Kronecker-Delta bezeichnet und ist definiert durch

\delta(k) = \begin{cases} 1 & k = 0 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}

.

Aus der Definition folgt

x(k) \delta(k) = x(0)

,

was als Siebeigenschaft des Delta-Impulses bekannt ist.

Der analoge Dirac-Impuls

\delta^D t

kann nicht direkt als Funktion definiert werden. Statt dessen erfolgt die Definition über das Integral

\int_{- \infty}^{\infty} f(t) \delta^D t\text{d}t = f(0)

       ,     (2.14)

wobei

f(t)

eine beliebige stetige und differenzierbare Funktion ist. Die Aussage der Gleichung 2.14 ist, dass der Dirac-Impuls aus einem Signal nur und ausschließlich den Wert des Signals zum Zeitpunkt Null herausfiltert. Dies wird auch als Sieb-Eigenschaft bezeichnet und entspricht der besonderen Eigenschaft des Delta-Impulses für diskrete Signale. Da keine direkte Definition möglich ist, spricht man beim Dirac-Impuls von einer verallgemeinerten Funktion. Diese besondere Klasse ist auch unter dem Begriff Distributionen bekannt. Durch die Definition als unendlich kurzen und unendlichen hohen Impuls wird deutlich, dass dieser Impuls nicht realisierbar ist, sondern eine reine theoretische Konstruktion darstellt, die sich aber als sehr nützlich Werkzeug zum Berechnen bestimmter Probleme herausgestellt hat.

Weitere Eigenschaften des Dirac-Impulses sind

\delta^D t = 0

für

t \neq 0

          (2.15)

sowie

\int_{- \infty}^{\infty} \delta^D t\text{d}t = 1

          (2.16)

Aus der Definition und den beiden Eigenschaften können weitere wichtige Eigenschaften abgeleitet werden. So gilt für den zeitlich verschobenen Dirac-Impuls

x(t) \delta^D t - t_0 = x(t_0)\delta^D t - t_0

          (2.17)

und

\int_{- \infty}^{\infty} x(t) \delta^D t- t_0\text{d}t = x(t_0)

,     (2.18)

für einen zeitlich skalierten Dirac-Impuls gilt

\delta^D\alpha t = \frac{1}{|\alpha|} \delta^Dt

        bzw.   

\int_{- \infty}^{\infty} \delta^D\alpha t\text{d}t = \frac{1}{|\alpha|}

.      (2.19)