Fourier-Transformation für Abtastsignale (DTFT)

Die DTFT (discrete time Fourier transform) ist ein wesentliches Hilfsmittel um zum einen zu verstehen, welchen Einfluss die Abtastung auf das Spektrum eines Signals hat und warum Aliasing ein Problem ist. Zum anderen können durch die DTFT als Zwischenschritt die Nebenwirkungen der Nutzung der Diskreten Fourier-Transformation (DFT) erläutert werden.

Die DTFT ist defniert als

X(e^{j\Omega}) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} x(k) e^{j\Omega k}

und in der Rücktransformation als

x(n) = \frac{1}{2 \pi} \int_{\Omega = -\pi}^{\pi} X(e^{j \Omega)} d \Omega

mit

\Omega = 2 \pi \frac{f}{f_s}

und

f_s

der Abtastfrequenz.

Hieraus ergibt sich also, dass die DTFT nur für unendlich lange Signale definiert ist und in der Transformation ein in

2 \pi

wiederholendes kontinuierliches Spektrum hat.

Da sich nach der Abtastung das Spektrum wiederholt und sich bei reellen Signalen ergibt, dass die Frequenzen von 0 bis

\pi

gespiegelt werden auf 0 bis

-\pi

, folgt, dass bei der Abtastung alle Frequenzen unterhalb von

f < \frac{f_s}{2 }

bleiben müssen, da sich sonst Artefakte in Form von Aliasing ergeben.