Rauschsignale

Eine sehr wichtige Klasse an Signalen sind die stochastischen oder auch rauschförmigen Signale. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass man den Signalverlauf nicht direkt vorhersagen kann. Trotzdem ist es möglich, bestimmte Eigenschaften rauschförmiger Signale zu beschreiben. Einige grundlegende Beschreibungsgrößen sind:

Mittelwert:
Die Schätzung (Schätzungen werden häufig durch ^ markiert) des Mittelwerts ist definiert als die Summe aller Werte, geteilt durch die Anzahl

N

der gemittelten Werte

\hat{\mu} = \overline{x} = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N}x(k)

.     

Varianz:
Die Schätzung der Varianz ist die mittlere quadratische Abweichung aller Werte vom Mittelwert. Die Wurzel aus der Varianz wird Standardabweichung

\sigma

genannt. Deshalb definieren wir die Varianz durch

\sigma^2

mit

\hat{\sigma^2} = \frac{1}{N - 1} \sum_{k = 1}^N (x(k) - \mu)^2

       .

Amplitudenverteilung:
Die Amplitudenverteilung gibt an, wie oft die einzelnen Amplitudenwerte im Signal vorkommen. Dies kann häufig mathematisch ausgedrückt werden. Liegt eine bestimmte Datenfolge vor, wird stattdessen das Histogramm berechnet. Das Histogramm unterteilt den Eingangsbereich der Amplituden in gleichbleibende Abschnitte und zählt dann aus, wie oft die Datenfolge Werte in diesem Bereich hat. In Matlab wird dies durch den Befehl "hist" realisiert. Zwei sehr oft vorkommende Amplitudenverteilungen bei Rauschsignalen sind die gleichförmige Verteilung und die gaussförmige Verteilung. Bei der gleichförmigen Verteilung kommen in einem definierten Wertebereich alle Amplitudenwerte gleich oft vor. In Matlab werden Rauschsignale mit dieser Eigenschaft durch den Befehl "rand" erzeugt. Die Verteilung bei der Gauss-Verteilung hat dagegen eine Glockenform. Bestimmte Wertebereiche kommen also häufiger vor als andere. Die Beschreibung ist mathematisch durch

p(x) = \frac{1} {\sigma \sqrt{2\pi}} e^{\frac{(x(k)-\mu)^2}{2\sigma^2}}

gegeben. Wir sehen, dass Mittelwert und Varianz hier als formgebende Größen verwendet werden. In Matlab können solche Verteilungen mit dem Befehl "normrnd" erzeugt werden. Gaussverteiltes Rauschen mit der Varianz

\sigma^2 = 1

und dem Mittelvert

\mu = 0

erzeugt der Befehl "randn". Abbildung 2.22 zeigt einige Beispiele mit unterschiedlichen Parametern.

Die Gauss-Verteilung wird auch als Normal-Verteilung bezeichnet. Sie hat eine große Bedeutung, da bei einer unendlichen Mittelung vieler unabhängiger, gleichverteilter Verteilungen immer eine Normal-Verteilung am Ende herauskommt. Diese Tatsache wird zentraler Grenzwertsatz genannt.

Färbung:
Neben der Verteilung ist die Färbung ein wesentlicher Parameter. Hiermit ist die Frequenzverteilung des Rauschens gemeint. Die Farbe des Rauschens ist an das sichtbare Spektrum angelehnt.
Beispiele: