FM-Synthese

Die FM-Synthese ist eine Syntheseform, bei der eine Trägerfrequenz (Carrier) mit einer Modulationsfrequenz (Modulator) über einen Modulationsindex moduliert wird.
Ursprünglich für die Nachrichtentechnik entwickelt, ist sie heute wesentlicher Bestandteil in der Klangerzeugung.

Die FM-Synthese wurde ab 1933 von Edwin Howard Armstrong entwickelt, um eine Alternative für die bisherige Amplitudenmodulation (AM) für die Nachrichtentechnik zu schaffen. [1]

Die Übertragung per FM-Wellen erzeugt eine hohe Sicherheit gegenüber Einstreuung und kann eine höhere Bandbreite darstellen, hat dafür jedoch eine deutlich geringere Reichweite.

1967 experimentierte John Chowning mit Vibratos [2] und fand dadurch unabhängig von der Radiotechnik die FM-Synthese: Nur diesmal im hörbaren Bereich.
Dieser Effekt lässt sich am leichtesten hören, wenn man von einer niedrigen Modulationsfrequenz zu einer hohen automatisiert.

Kommt die ansteigende Modulationsfrequenz in den hörbaren Bereich (ab 20 Hz), interpretiert unser Gehör einen kongruenten, harmonisch komplexen Klang.
Nach Verfeinerung ging Chowning zu Yamaha, wo dann erst die Synthesizer GS 1 und 2 entwickelt wurden, bis 1983 der populäre DX7 erschien.

Formel der einfachen FM-Synthese für digitale Synthesizer: [3]

{\displaystyle s_{\text{fm}}(t)=A\cdot \cos \left(\omega _{\text{c}}t+\beta \cdot \cos(\omega _{\text{m}}t)\right)}

Das FM-Signal resultiert aus der Trägerfrequenz im Einfluss der Modulation durch Frequenz und Modulationsindex.
Von der ursprünglichen Formel einer Frequenz: 

{\displaystyle s_{\text{}}(t)=A\cdot \cos \left(\omega _{\text{c}}t\right)}

  finden wir eine Addition mit einer weiteren Frequenz abhängig der momentanen Phase

{\displaystyle \omega _{\text{c}}t}

.

Der Modulationsindex

{\beta}

ist dabei gleichbedeutend zur Amplitude der Modulation und beschreibt die "Stärke" des Einflusses.

Bei einem Index von 0 findet gar keine Modulation der Trägerfrequenz statt.

Wie in diesem Processing Sketch aufgeführt, sehen wir den Einfluss der Modulationsfrequenz (blau) auf die resultierende Welle (grün).
Der periodische Frequenzhub der FM-Welle (orange) ist abhängig von der Modulationsfrequenz, die "Stärke" des Hubes ("Stauchung") vom Index.
Dies lässt sich in Abb. 2 erkennen: Die weißen Markierungen zeigen dabei eine halbe Wellenlänge des Modulators, welche in der FM-Welle als Frequenzhub zu sehen ist.

Das Verhältnis der Frequenzen

ratio=f_{modulator}:f_{carrier}

beeinflusst dabei das harmonische Spektrum des Klanges. [4]

f_{FM}=f_{c}​± k*f_{m} ​ (k=0,1,2,…)

Ganzzahlige Verhältnisse erzeugen dadurch harmonische Obertöne (ganzzahlige Vielfache des Grundtons).
Während nicht-ganzzahlige Verhältnisse zunehmend dissonanter werden und metallischere Klangeindrücke erzeugen.
Diese eignen sich vor allem für glockenartige und perkussive Klänge.

Die FM-Synthese im digitalen Bereich (z.B.: bei Yamaha DX7) moduliert eigentlich gar nicht die Frequenz, sondern die Phase. [5]
Die eigentliche Formel nach John Chowning für die Frequenzmodulation lautet:

x(t)=Acos(ω_c​t+Isin(ω_m​t))

Während die Phasenmodulation die Ableitung des Modulatorsignals verwendet:

x(t)=Acos(ω_c​t+k_{p​m}(t))

Diese beiden Verfahren sind klanglich beinahe identisch. In den meisten Fällen erzeugen sie die gleichen Seitenbänder und Spektren.
Hörbare Unterschiede treten erst auf, werden niedrige Sampling Rates, extrem hohe Modulationsindizes oder nicht-sinusförmige Modulatoren verwendet.
Allerdings würde die Integration eine hohe Rechenleistung benötigen. Durch Integrationsfehler in der Berechnung (Rundungsfehler) entsteht zusätzlich ein Pitch Drift.
Also setzte Yamaha auf die Phasenmodulation und nannte es im Marketing dennoch FM-Synthese.

In Anwendung gibt es auch andere Algorithmen als nur die einfache FM-Synthese.
Algorithmen beschreiben hierbei die Verschaltungen zwischen Modulator- und Trägermodulen.
Dabei werden diese in Kaskaden- und Parallelschaltung verwendet:

Fig. 1 beschreibt zwei Modulatoren, die in Kaskade geschaltet auf einen Träger einwirken. Häufig werden Envelope-Generatoren verwendet (ADSR), um die Modulation zeitlich abhängig zu machen: So erhält man z.B. einen obertonreichen Anschlag, der dann in seinen reinen Grundton übergeht.
Fig. 2 beschreibt verschiedene Operationsprozesse. Von links nach rechts:

In der analogen Welt wird zwischen zwei Typen unterschieden: [6]

- Linear
- Exponentiell

Die exponentielle FM Synthese rechnet mit 1 Volt / Oktave.
Bei einer Grundfrequenz von 440 Hz mit einem Eingangssignal von +/- 1 Volt wird die Frequenz zwischen 220 Hz und 880 Hz moduliert.
Das bedeutet, dass der Durchschnitt dieser Werte und damit auch der resultierende Grundton bei 550 Hz liegt: ((880+220)/2) = 550.
Verändert man nun den Modulationsindex, ändert sich die wahrgenommene Tonhöhe des Signals.

Um den entgegenzuwirken, gibt es auch die Lineare FM Synthese.
Hier wird mit 100 Hz/Volt gerechnet.
Bei 440 Hz mit einem Eingangssignal von +/- 1 Volt wird die Frequenz zwischen 340 und 540 Hz moduliert.
Der Durchschnitt der Werte beträgt damit wieder 440 Hz und wir nehmen keine Tonhöhenverschiebung war: ((340+540)/2) = 440.
Wird allerdings der Modulationsindex soweit erhöht, dass sich die Frequenz in den negativen Bereich verschiebt, können herkömmliche Bauteile dies nicht wiedergeben.
Es entstehen neben einer Tonhöhenverschiebung auch unerwünschte Störsignale:
440 Hz +/- 5 Volt = -60 Hz und 940 Hz. -60 Hz ist damit auf 0 Hz "geclippt". (940+0)/2 = 470 Hz.

Daraus sind VCOs (Voltage Controlled Oscillator) entstanden, die negative Frequenzen wiedergeben können: Der Prozess wird TZFM oder "Thru Zero Frequency Modulation" genannt.
Hier laufen Frequenzen im negativen Bereich "rückwärts", d.h. die Phase wird invertiert. 
440 Hz +/- 5 Volt = -60 Hz und 940 Hz. (940-60)/2 = 440Hz.

Damit können moderne analoge FM-Module "ganz wie digital" klingen.

Eine schnelle und einfache Erklärung:
 FM SYNTHS in under 4 minutes

FM_Synthesis_of_Real_Instruments.pdf - Best Practice
Was ist FM-Synthese und wie funktioniert sie? - Schneller Überblick - Anwendungsorientiert
An Introduction To Frequency Modulation - Schneller Überblick - Mathematisch
FM Synthesis Explained For Audio Programmers: Art and Science | WolfSound - Detailreicher Artikel mit Hörproben