Abtastung

Bei der Abtastung wird das zeitkontinuierliche Signal in ein zeitdiskretes Signal umgewandelt. Dies geschieht dadurch, dass aus dem kontinuierlichen Signal zu bestimmten Zeiten Proben (Samples) entnommen werden. Man kann sich dies als eine Art Schalter vorstellen, der immer nur für einen kurzen Zeitpunkt das Signal durchlässt (siehe Abbildung)

In der digitalen Signalverarbeitung geht man in den meisten Fällen implizit davon aus, dass diese Abtastung in einem regelmäßigen Intervall erfolgt, dass bei Zeitsignalen Abtastintervall genannt wird (bei Bildern ist dies die Pixel-Auflösung).

Die Abtastrate, im Weiteren auch mit dem eingedeutschten Begriff Samplingfrequenz bezeichnet, ist der Kehrwert zum Abtastintervall

f_{s} = \frac{ 1 } {T}

und wird in Hertz (Hz), also

1/s

angegeben.

Die Frage lautet nun, mit welcher Frequenz ein Signal abgetastet werden muss, damit die digitale Repräsentation dem analogen Original entspricht. Insbesondere, wenn man abschließend das digitale Signal wieder in ein analoges Signal zurückwandeln will, ist die Frage:

Um dies zu veranschaulichen, sind in der Abbildung 2.6 verschiedene Sinustöne gezeigt, die bei gleichbleibender Abtastrate abgetastet werden. Es wird deutlich, dass sehr tiefe Frequenzen besonders gut dargestellt werden (a), je höher die Frequenzen werden, desto weniger Abtastwerte repräsentieren die analoge Funktion (b, c).

Ist die Frequenz des Sinus genau halb so hoch kann die Funktion gar nicht mehr erkannt werden, da sich eine Konstante ergibt (d).

Erhöht man die Frequenz des Sinus noch weiter, entsprechen die Abtastwerte genau den Abtastwerten einer niedrigeren Frequenz, z.B. führt in (f) die Verdoppelung ebenfalls auf eine Nullfolge. Betrachtet man nur die Folge der Abtastwerte (gut in (e) zu sehen) und nicht die Zeitpunkte des Auftretens (diese Information ist nach einer Abtastung nicht mehr vorhanden), so kommt es zu Doppeldeutigkeiten. Dieser Effekt wird Aliasing genannt.

Man kann das Problem aber auch andersherum darstellen. Die Frequenz des Sinus bleibt gleichbleibend, aber die Abtastrate wird verändert. Dies ist in Abbildung 2.7 gezeigt. Ist die Abtastrate sehr hoch, kann die Sinusfunktion sehr gut repräsentiert werden (a).
Reduziert man die Abtastfrequenz wird die Anzahl der Samples, die den Sinus repräsentieren immer geringer (b, c).
Ist die Abtastfrequenz genau doppelt so hoch, wie die Frequenz des Sinus, entsteht für diese Phasenlage ein Nullsignal (d). Es ist also keine Aussage über das Signal mehr möglich.
Verringert man die Frequenz weiter, repräsentieren die Abtastpunkte nicht mehr die originale Sinusfunktion.

Um also eine perfekte und eindeutige Rekonstruktion zu ermöglichen, ist es notwendig, mit wenigstens der doppelten Frequenz der höchsten im Signal vorkommenden Frequenz abzutasten. Da viele natürliche Signale keine obere Frequenz haben oder diese so hoch liegt, dass die Abtastung nicht mehr technisch realisiert werden kann, wird das Eingangssignal einer Abtasteinheit nach oben begrenzt. Es werden also alle Frequenzen ab einer bestimmten Frequenz aus dem Signal entnommen. Das verwendete Filter wird als Tiefpass-Filter bezeichnet, da es alle tiefen Frequenzen passieren lässt. Wichtig: Abtastung ist nur dann eindeutig, wenn das Signal keine Frequenzen enthält, die oberhalb der halben Abtastfrequenz liegen:

f_{max} < \frac{f_{s}} {2}

 

Um die Abtastung bei einer mathematischen Signalbeschreibung deutlich zu machen, wird statt der üblichen Beschreibung des analogen Zeitparameters

t

,
die Index- oder Laufvariable

k

verwendet. In der englischsprachigen Literatur wird meist

n

als Zeitindex verwendet. Ein typisches Zeitsignal

x(t)

wird also nach der Abtastung zu

x(k)

, wobei dies eine Abkürzung für

x(kT)

ist.